< На главную страницу >

ГЕОМЕТРИЯ В АВТОКАДЕ
ГЕОМЕТРИЯ В АВТОКАДЕ
ГЕОМЕТРИЯ В АВТОКАДЕ
ГЕОМЕТРИЯ В АВТОКАДЕ
ГЕОМЕТРИЯ В АВТОКАДЕ




   Сопряжение отрезка и окружности дугой, которая касается отрезка в заданной точке (3 варианта).
   Сопряжение двух окружностей дугой, которая касается одной из окружностей в заданной точке.
   Построение равносторонней трапеции по одному из оснований и одному углу.
   Построение трапеции по четырем сторонам.
   Построение трапеции по двум основаниям и двум углам при основании.

    Часто, в процессе черчения, приходится решать кое-какие геометрические задачки. Обычно, это связано с построением контура какой-либо сложной фигуры. Как правило, основную проблему составляет сопряжение дуг и окружностей друг с другом и с отрезками прямых при соблюдении заданных условий и параметров. Черчение вручную, то есть карандашом по бумаге, по сути, является аналоговым процессом, в котором довольно широко используется метод "подгонки", позволяющий избежать сложных построений. При работе в Автокаде бывает обидно заниматься подгонкой, потому что, при этом, теряется цифровая точность чертежа. Поэтому, ради этой самой цифровой точности, приходится прилагать некоторые усилия для решения задач, связанных с геометрическим построением.
   В AutoCAD имеется целый ряд инструментов, позволяющих упростить, или, даже, вовсе исключить сложные геометрические построения при черчении. Например, для сопряжения концов двух отрезков дугой какого-то определенного радиуса можно использовать команду FILLET, задав соответствующий радиус сопряжения; у команды CIRCLE имеются опции, позволяющие построить окружность (а значит и дугу), касающуюся двух или трех различных фигур, что очень ценно для построения сложных контуров.
   Однако, все-таки, зачастую не удается обойтись одними только средствами и командами Автокада, и избежать геометрических построений. В частности это относится к ситуации, когда, при сопряжении двух примитивов дугой, в условии задан не радиус сопряжения, а точка касания на одном из примитивов (см. примеры 1,2,3).
   Ниже приведено несколько примеров характерных задач, возникающих при построении сложных контуров фигур.
   Если у Вас появятся вопросы или предложения - ссылки для связи имеются на главной странице.





   1. Сопряжение отрезка и окружности дугой, касающейся отрезка в заданной точке (вар. 1 - отрезок и окружность пересекаются; заданная точка - вне окружности).
   Дано: прямая "а" пересекает окружность "О1"; точка "р" принадлежит прямой "а".
Дано
   Требуется: построить сопряжение окружности "О1" и прямой "а" дугой, которая касается прямой "а" в точке "р".
Требуется
   Требуется построить дугу, (или дуги), касающуюся отрезка "а" и заданной окружности. Точка касания отрезка задана, а возможных точек касания окружности - две (как видно из приведенного выше рисунка). Решение для каждой точки касания окружности - одно и тоже.

   Решение:
   Возводим перпендикуляр "I" из центра заданной окружности "О1" к прямой "а" и командой EXTEND продолжаем его до пересечения с заданной окружностью. Проводим перпендикуляр "b" к прямой "а", проходящий через точку "р". Точку пересечения отрезка "I" с заданной окружностью и заданную точку "р" соединяем отрезком "II". Строим отрезок "III" от точки пересечения отрезка "II" с окружностью до центра заданной окружности. Командой EXTEND продолжаем отрезок "III" до пересечения с прямой "b". Точка пересечения отрезка "III" с прямой "b" является центрм искомой дуги. Две конечные точки дуги так же уже имеются; это - заданная точка "р" и точка пересечения отрезка "II" с окружностью "О1". Используя полученные, точки строим дугу.

Кино

   < В начало >



   2. Сопряжение отрезка и окружности дугой, касающейся отрезка в заданной точке (вар. 2 - отрезок и окружность пересекаются; заданная точка - внутри заданной окружности).
   Дано: прямая "а" пересекает окружность "О1"; точка "р" принадлежит прямой "а".
Дано
   Требуется: построить сопряжение окружности "О1" и прямой "а" дугой, которая касается прямой "а" в точке "р".
Требуется
   Требуется построить дугу, (или дуги), касающуюся отрезка "а" и заданной окружности. Точка касания отрезка задана, а возможных точек касания окружности - две (как видно из приведенного выше рисунка). Решение для каждой точки касания окружности - одно и тоже.

   Решение:
   Возводим перпендикуляр "I" из центра заданной окружности "О1" к прямой "а" и командой EXTEND продолжаем его до пересечения с заданной окружностью. Проводим перпендикуляр "b" к прямой "а", проходящий через точку "р". Точку пересечения отрезка "I" с заданной окружностью и заданную точку "р" соединяем отрезком "II", который, затем, продолжаем командой EXTEND до пересечения с окружностью. Соединяем центр окружности с вновь полученной точкой пересечения отрезка "II" с окружностью; получаем отрезок III. Точка пересечения отрезка "III" с прямой "b" является центрм искомой дуги. Две конечные точки дуги так же уже имеются; это - заданная точка "р" и точка пересечения отрезка "II" с окружностью "О1". Используя полученные, точки строим дугу.

Кино

   < В начало >



   3. Сопряжение отрезка и окружности дугой, касающейся отрезка в заданной точке (вар. 3 - отрезок и окружность не пересекаются).
   Дано: прямая "а" не пересекает окружность "О1"; точка "р" принадлежит прямой "а".
Дано
   Требуется: построить сопряжение окружности "О1" и прямой "а" дугой, которая касается прямой "а" в точке "р".
Требуется
   Требуется построить дугу, (или дуги), касающуюся отрезка "а" и заданной окружности. Точка касания отрезка задана, а возможных точек касания окружности - две (как видно из приведенного выше рисунка). Решения для каждой точки касания окружности имеют некоторые отличия.

   Решение 1:
   Возводим перпендикуляр "I" из центра заданной окружности "О1" к прямой "а". Точку пересечения отрезка "I" с заданной окружностью и заданную точку "р" соединяем отрезком "II", который, затем, продолжаем командой EXTEND до пересечения с окружностью. Соединяем центр окружности с вновь полученной точкой пересечения отрезка "II" с окружностью; получаем отрезок III. Проводим перпендикуляр "b" к прямой "а", проходящий через точку "р".Точка пересечения отрезка "III" с прямой "b" является центрм искомой дуги. Две конечные точки дуги так же уже имеются; это - заданная точка "р" и точка пересечения отрезка "II" с окружностью "О1". Используя полученные, точки строим дугу.

Кино

   Решение 2:
   Возводим перпендикуляр "I" из центра заданной окружности "О1" к прямой "а" и командой EXTEND продолжаем его до пересечения с заданной окружностью. Вновь полученную точку пересечения отрезка "I" с заданной окружностью и заданную точку "р" соединяем отрезком "II". Соединяем центр окружности с вновь полученной точкой пересечения отрезка "II" с окружностью; получаем отрезок III. Проводим перпендикуляр "b" к прямой "а", проходящий через точку "р".. Точка пересечения отрезка "III" с прямой "b" является центрм искомой дуги. Две конечные точки дуги так же уже имеются; это - заданная точка "р" и точка пересечения отрезка "II" с окружностью "О1". Используя полученные, точки строим дугу.

Кино

   < В начало >



   4. Сопряжение двух окружностей дугой, которая касается одной из окружностей в заданной точке.
   Дано: окружность "О1" и окружность "О2"; точка "р" принадлежит окружности "О2".
Дано
   Требуется: построить сопряжение окружности "О1" и окружности "О2" дугой, которая касается окружности "О2" в точке "р".
Требуется
   Требуется построить дугу, (или дуги), касающуюся окружности "О1" и окружности "О2". Точка касания окружности "О2" задана, а возможных точек касания окружности "О1" - две (как видно из приведенного выше рисунка). Решения для каждой точки касания окружности - одно и тоже.

   Решение:
   Строим отрезок из центра окружности "О2" до точки "p". Затем, командой "Rotate" поворачиваем его на 90 градусов вокруг точки "p". Командой "Lengthen" удлинняем концы отрезка на необходимую величину. Полученный отрезок "а" является касательным к окружности "О2", и проходит через точку "р". Дальнейшее построение производим в соответствии с примером 1.
   Возводим перпендикуляр "I" из центра заданной окружности "О1" к прямой "а" и командой EXTEND продолжаем его до пересечения с заданной окружностью. Проводим перпендикуляр "b" к прямой "а", проходящий через точку "р". Точку пересечения отрезка "I" с заданной окружностью и заданную точку "р" соединяем отрезком "II". Строим отрезок "III" от точки пересечения отрезка "II" с окружностью до центра заданной окружности. Командой EXTEND продолжаем отрезок "III" до пересечения с прямой "b". Точка пересечения отрезка "III" с прямой "b" является центром искомой дуги. Две конечные точки дуги так же уже имеются; это - заданная точка "р" и точка пересечения отрезка "II" с окружностью "О1". Используя полученные точки, строим дугу.


Кино
   Любое сопряжение двух окружностей дугой, проходящей через точку, которая принадлежит одной из окружностей, может быть выполнено посредством построений описаных выше в примерах 1, 2, 3, если предварительно построить касательную к окружности с заданной точкой, проходящую через эту точку.

   < В начало >



   5. Построение равносторонней трапеции по одному из оснований и одному углу..
   Дано: Отрезок "а" равен 120. Отрезок "b" проходит через конечную точку отрезка "а". Острый угол между "а" и "b".
Дано
   Требуется: построить равностороннюю трапецию (две боковые стороны и меньшее основание равны), используя в качестве большего основания отрезок "а".
Требуется
   Решение:
   Используя команду MIRROR, строим отрезок "с", симметричный отрезку "b", и проходящий через другой конец отрезка "а" (ось симметрии - перпендикуляр, восстановленный из середины отрезка "а"). Если необходимо, удлиняем отрезки "b" и "с" до пересечения друг с другом. Таким образом, получается равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок "а". Строим окружность с центром в точке пересечения "b" и "с" и проходящую через концы отрезка "а". Через ту же точку, в которой находится центр окружности, проводим отрезок "I", параллельный отрезку "а" и пересекающий окружность. Точку пересечения отрезка "I" с окружностью соединяем с тем концом отрезка "а", который дальше от нее расположен. Таким образом, получаем отрезок "II", который пересекает "с". Из этой точки пересечения строим отрезок "d", который параллелен "а" и продолжается до пересечения с "b". Вновь полученный отрезок "d" является меньшим основанием искомой трапеции. В завершение командой TRIM обрезаем лишние концы отрезков и получаем равностороннюю трапецию.
Суть этого решения в использовании свойств подобных фигур. Мы, как бы, начинаем, опираясь на заданный угол, строить равностороннюю трапецию произвольной величины, затем, построив боковую сторону, меньшее основание и диагональ этой призвольной трапеции, по пропорции находим те же элементы искомой трапеции.

Кино

   < В начало >



   6. Построение трапеции по четырем сторонам..
   Дано: Четыре отрезока: "а", "b", "c" и "d". Отрезки "а" и "b" параллельны.
Дано
   Требуется: построить трапецию, используя в качестве оснований отрезки "a" и "b", а в качестве боковывх сторон - отрезки "c" и "d".
Требуется
   Решение:
   Любая трапеция может быть составлена из треугольника и параллелограма. При этом, боковые стороны треугольника будут равны боковым сторонам трапеции, а меньшее основание трапеции будет равно двум противолежащим сторонам параллелограма. Используя это свойство, можно построить трапецию, если известны длины ее четырех сторон.
   Если в чертеже из пункта "Дано" отрезки "а" и "b" параллельны один другому, то решение данной задачи может быть таким:
   Для удобства изложения сначала пронумеруем концы всех отрезков числами от 1 до 8, начиная от левого конца отрека "a", и далее двигаясь против часовой стрелки.
   Строим вспомогательный отрезок от конечной точки 2 отрезка "a" до конечной точки 5 отрезка "b".
   Используя команду MOVE, переносим вспомогательный отрезок от конечной точки 5 к конечной точке 6 отрезка "b" (base point - точка 5; second point - точка 6). Точке, в которой конец передвинутого вспомогательного отрезка касается отрезка "a", присваиваем номер 9.
   Используя команду MOVE, переносим отрезок "d", так, чтобы точка 3 оказалась в точке 9 (base point - точка 3; second point - точка 9), а отрезок "c" переносим так, чтобы точка 8 оказалась в точке 1.
   Строим две окружности: одну - с центром в точке 1 (или 8) и проходящую через точку 7 (конец отрезка "с"), другую - с центром в точке 9 и проходящую через точку 4 (конец отрезка "d").
   Выделив отрезки "c" и "d", используя "ручки" ("grips"), поочередно перемещаем точки 4 и 7 по дугам, на которых они находятся, до тчки пересечения дуг (окружностей).
   Используя команду MOVE, переносим отрезок "d" от точки 9 к конечной точке 2 отрезка "a" (base point - точка 9; second point - точка 2).
   Используя команду MOVE, переносим отрезок "b" так, чтобы точка 5 оказалась в точке 4 (base point - точка 5; second point - точка 4), при этом, другой конец отрезка "b" - точка 6 - совпадет с концом отрезка "c" - точкой 7.
   Вот и вышла трапеция.

Кино

   < В начало >



   7. Построение трапеции по двум основаниям и двум углам при основании..
   Дано: Горизонтальные отрезки "аb" и "cd" не равны друг другу; острые углы "альфа" и "бета" построены от горизонтальных отрезков и не равны друг другу.
Дано
   Требуется: построить трапецию, используя в качестве оснований отрезки "ab" и "cd", с углами при большем основании, равными "альфа" и "бета".
Требуется
   Решение:
   На концах большего отрезка ("ab") строим углы, равные "альфа" и "бета", или просто, используя команду "MOVE", к концам отрезка "ab" поочередно переносим отрезки, определяющие эти углы на чертеже "Дано".
   Если отрезки не пересекаются, посредством команды "FILLET", задав радиус сопряжения равный нулю, удлиняем эти отрезки до пересечения друг с другом. При этом получим треугольник с отрезком "ab" в основании. Затем отрезок "cd" посредством команды "MOVE" перемещаем так, чтобы точка "c" оказалась в противоположной отрезку "ab" вершине треугольника.
   Командой "COPY" переносим копию отрезка "ac" от точки "c" к точке "d" и находим точку пересечения ее с отрезком "bc". Обозначим эту точку буквой "e". Переносим (командой "MOVE") отрезок "cd" от точки "d" к точке "e".
   Получилась трапеция "acdb". Командами "TRIM" и "ERASE" обрезаем и удаляем лишнее.
   Все. Анимированный пример см. ниже.

Кино

   < В начало >



< На главную страницу >